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ISSN : 1229-3059(Print)
ISSN : 2287-2302(Online)
Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea
Vol.31 No.6 pp.381-388

DOI : https://doi.org/10.7734/COSEIK.2018.31.6.381

Plastic Hinge Modeling Based on Lumped Plasticity using a Generalized Finite Element Method

Hong-Jun Son1, Seung-Ho Rhee1, Dae-Jin Kim1
1Department of Architectural Engineering, Kyung Hee Univ., Yongin, 17104, Korea
Corresponding author: Tel: +82-31-201-3329; E-mail: dkjim@khu.ac.kr
October 29, 2018 October 31, 2018 November 1, 2018

Abstract


This paper presents a generalized finite element formulation for plastic hinge modeling based on lumped plasticity in the classical Euler-Bernoulli beam elements. In this approach, the plastic hinges are effectively modeled using proper enrichment functions describing weak discontinuities of the solution. The proposed methodology enables the insertion of plastic hinges at an arbitrary location without modifying the connectivity of elements. The formations of plastic hinges are instead achieved by hierarchically adding degrees of freedom to existing elements. Convergence analyses such as h- and p-extensions are performed to investigate the effectiveness of the proposed method. The analysis results indicate that the proposed generalized finite element method can achieve theoretical convergence rates for both cases where plastic hinges are located at nodes and within an element, thus demonstrating its accuracy.



일반유한요소법을 이용한 집중소성힌지 모델링

손 홍 준1, 이 승 호1, 김 대 진1
1경희대학교 건축공학과

초록


본 논문은 고전적인 오일러-베르누이 보의 집중소성힌지 모델링을 위한 일반유한요소법을 제안한다. 이 기법에서 소성힌 지는 해의 약불연속을 묘사하는 적절한 확장함수에 의해 모델링되며, 요소간의 연결성을 변화시키지 않으면서 임의의 위치 에 소성힌지를 삽입하는 것이 가능하다. 대신 소성힌지는 이미 존재하는 요소에 위계적으로 자유도를 추가함으로써 형성된 다. 제안된 기법의 유효성을 검증하기 위해 수치해석 예제에 대해 h-, p-확장과 같은 수렴성 해석을 수행하였다. 수렴성 해석의 결과가 제안된 기법이 소성힌지가 절점 및 요소 내의 임의의 위치에 존재하는 두 가지 경우 모두에 대하여 유한요소이론에 의한 수렴속도를 얻을 수 있음을 보여주어 기법의 정확성을 입증하였다.



    1. 서 론

    최근 전 세계적으로 지진, 쓰나미, 태풍, 테러리스트 공격 등과 같은 재해로 인한 구조물의 붕괴사고(Sozen et al., 1998;Wu et al., 2004)가 증가하는 추세에 있으며, 이는 일반적으로 많은 인명 및 재산 피해를 야기한다. 따라서 이와 같은 피해를 최소화시키기 위해 재해로 인하여 발생하는 극단적인 하중 조 건에 대해 구조물을 안전하게 설계하는 기술의 개발이 필요하다. 유한요소법(finite element method)은 이와 같은 목표를 달성 하는데 대단히 유용한 도구로 컴퓨터 하드웨어 기술의 발전과 더불어 그 중요성이 점점 더 커지고 있다.

    일반적으로 유한요소법을 이용한 보 혹은 프레임 구조물의 붕괴 시뮬레이션은 소성힌지의 연속적인 형성으로 진행된다. 소성힌지는 보통 집중 혹은 분포소성이론 중 하나에 근거해 모델링된다. 집중소성힌지는 소성변형이 오직 힌지 발생 위치에 집중되어 내부힌지 혹은 핀으로 모델링이 가능하다. 이 경우 소성힌지가 발생한 위치에서 보 요소의 변위는 연속이지만 그 회전은 불연속이 된다. 반면 분포소성이론에 근거한 소성힌지는 소성변형이 유한한 길이의 보 요소의 항복영역(yield zone)에 걸쳐 나타나 변위에 높은 기울기가 발생하나 불연속이 되지는 않는다. 일반적으로 분포소성이론에 근거한 소성힌지 모델링이 더 정확한 결과를 가져다주기만, 집중소성힌지는 모델링이 훨씬 더 간단하여 구조물 전체의 붕괴를 일련의 선형 해석과정으로 시뮬레이션 하는 1차 소성힌지 해석(first-order plastic hinge analysis)에 널리 쓰이고 있다(Chen et al., 2013).

    본 논문은 집중소성모델에 근거한 소성힌지를 일반유한요소 법(generalized finite element)을 활용해 모델링하는 방법 을 제시한다. 일반유한요소법 혹은 확장유한요소법(extended finite element method)은 원래 균열전파문제를 효율적으로 다루기 위해 개발되었으나(Fries et al., 2010) 해에 대한 정보를 미리 알 수 있는 복합재료해석, 열역학해석 등 다양한 분야의 문제를 효과적으로 해결하는데 널리 적용되어 왔다. 본 논문에서는 고전적인 오일러-베르누이 보의 집중소성힌지 모델 링을 위한 일반유한요소법을 제안한다. 이 기법은 소성힌지를 해의 약불연속을 묘사하는 적절한 확장함수를 이용해 모델링 하며, 요소간의 연결성을 변화시키지 않으면서 임의의 위치에 소성힌지를 삽입할 수 있다. 소성힌지는 이미 존재하는 요소에 위계적으로 자유도를 추가함으로써 형성된다. 제안된 일반유 한요소법의 정확성 및 유효성을 3장 수치해석 예제에서 수행된 수렴성 해석의 결과를 통해 검증한다.

    2. 일반유한요소법을 이용한 소성힌지 모델링

    본 장에서는 집중소성힌지를 모델링하기 위한 일반유한요소 이산화과정에 대해 소개한다. 고전적인 오일러-베르누이 보이론에 기반한 편미분방정식을 가상일의 원리에 근거하여 적분형으로 나타내면 다음과 같다. δ u h X ( Ω ) 에 대하여 식 (1)로 나타난 적분식을 만족하는 일반유한요소 근사해 u h X ( Ω ) H 2 ( Ω ) , Ω = { x : 0 < x < H } 를 구하라:

    0 H E I d 2 u h d x 2 d 2 δ u h d x 2 d x = 0 H q δ u h d x [ E I d 3 u h d x 3 δ u h ] 0 H + [ E I d 2 u h d x 2 d 2 δ u h d x 2 ] 0 H
    (1)

    여기서, X(Ω)는 영역 Ω에 정의된 힐베르트 공간 H2(Ω) 의 일반유한요소 이산화를 의미하며, q는 보에 작용하는 등분포 하중, H 는 보의 길이를 의미한다. 일반유한요소 근사해 uh 는 아래의 식에 의해 주어진다.

    u h ( x ) = α = 1 N φ α i l ( α ) ( L α i w α i 0 _ + B α L α i w α i E _ ) = α = 1 N i l ( α ) φ α L α i w α i 0 _ smooth interpolation + α = 1 N i l ( α ) φ α B α L α i w α i E _ . non - smooth interpolation
    (2)

    이 식에서 φ α , α = 1 , , N 는 단위오목분할함수(partition of unity function), L α i , i l ( α ) 는 절점 α 에 정의된 다항 확장함수(polynomial enrichment function)이다. Bα는 절 점 α 에 정의된 소성힌지 확장함수이며 소성힌지가 존재하는 요소에만 사용된다. w α i 0 _ w α i E _ 는 각각 다항 및 소성힌지 확장 함수에 해당하는 자유도이다. 갈러킨법(galerkin method)에 의하면 가상변위(δuH) 또한 동일한 형상함수를 이용해 표현 되며 아래와 같다.

    δ u h ( x ) = α = 1 N φ α i l ( α ) ( l α i δ w α i 0 _ + B α L α i δ w α i E _ )
    (3)

    위 식에서 δ w α i 0 _ δ w α i E _ 는 가상변위의 자유도이다. 관련해 더 자세한 사항은 일반유한요소법에 대한 여러 참고문헌(Duarte et al., 2000;Choi et al., 2011;Kim et al., 2012;Park et al., 2018)에 수록되어 있다.

    식 (1)이 변위 및 가상변위의 2차 미분항이 포함되어 있기 때문에 형상함수는 C1 특징을 만족시켜야 하며, Fig. 1(a)에 나타난 변위와 연관된 3차의 Hermite 형상함수를 단위오목분 할함수로 사용한다. 이 함수는 C1 특징을 만족시키는 가장 간 단한 단위오목분할함수이며 아래와 같이 Kronecker-delta 조건을 만족시킨다. 뿐만 아니라 절점에 정의된 φα는 임의의 절점에서 그 미분치가 0이 된다.

    φ α ( x β ) = δ α β , ( α , β = 1 , , N )
    (4)

    d φ α ( x β ) d x = 0 , ( α , β = 1 , , N )
    (5)

    다항차수(p=2, 3, 4)에 대한 다항 확장함수로는 아래의 식 을 사용한다

    L α i = { 1 , ( x x α h α ) , ( x x α h α ) 2 } , ( p = 2 ) { 1 , ( x x α h α ) , ( x x α h α ) 2 , ( x x α h α ) 3 } , ( p = 3 ) { 1 , ( x x α h α ) , ( x x α h α ) 2 , ( x x α h α ) 3 , ( x x α h α ) 4 } , ( p = 4 )
    (6)

    위의 식에서 xα는 절점 α 의 좌표, hα는 스케일링 팩터이다. 식 (6)으로 주어진 다항 확장함수를 사용함으로써 i = 1 및 2에 해당하는 다항 확장함수의 자유도( w α 1 0 _ w α 2 0 _ )가 절점 에서의 변위 및 회전의 물리적인 의미를 지닐 수 있다. 이에 대한 증명은 Son et al.(2017)에 소개된 것과 동일한 방법으로 할 수 있 다. Fig. 1(b)에 소성힌지 확장함수 Bα를 나타내었으며 아래 의 식으로 정의된다.

    B α = α = 1 2 φ α | d α | α = 1 2 | φ α d α |
    (7)

    식 (7)에서 dα는 절점 α 와 소성힌지 발생위치까지의 거리 이며 Fig. 1(b)에 나타난 절점 β와 γ에 이 확장함수가 사용 된다. 원래 식 (7)은 이중재료 경계에서의 약불연속(weak discontinuity)을 묘사하기 위해 Moes 등에 의해 제안되었 으나(Moes et al., 2003) 회전에 불연속이 발생하는 집중소 성힌지의 거동을 묘사하기 위해 사용될 수 있으며, 소성힌지 발생위치에서 C1 조건을, 그 이외의 위치에서는 C 조건을 만족한다. 뿐만 아니라 이 확장함수는 아래와 같은 조건을 만족 시켜 변위경계조건을 손쉽게 적용시킬 수 있다.(8)(9)

    B α ( x β ) = 0 , ( α , β = 1 , , N . )
    (8)

    d B α ( x β ) d x = 0 , ( α , β = 1 , , N . )
    (9)

    일반유한요소법에서 형상함수는 이미 존재하는 형상함수에 위계적으로(hierarchically) 추가할 수 있기 때문에 소성힌지 가 발생하기 전에는 식 (6)으로 주어진 다항 확장함수만 사용 하다가 소성힌지 발생 후에는 식 (7)로 주어진 소성힌지 확장 함수 항을 식 (2) 나타난 것처럼 추가할 수 있기 때문에 구조 물의 점진적인 붕괴를 시뮬레이션하는 1차 소성힌지 해석 (Chen et al., 2013)에 유용하게 적용될 수 있다. 갈러킨법의 개념에 근거해 식 (2)와 (3)을 식 (1)에 대입함으로써 아래의 선형시스템을 얻을 수 있다.

    ( δ u T ) { 1 1 E I B T B H 2 d ξ } u = ( δ u T ) 1 1 w N T H 2 d ξ , u h = N u , d u h d x = d d x N u = L u , d 2 u h d x 2 = d d x L u = B u
    (10)

    식 (10)에서 N 은 형상함수행렬, u 는 변위벡터이며, 표준 적인 유한요소법에서와 마찬가지로 수치적분 편이성을 위해 자연좌표계(ξ)와 전체좌표계(x) 사이에 선형매핑(linear mapping) 이 사용된다. 식 (10)은 다음과 같이 정리된다.

    K u = f K = 1 1 E I B T B H 2 d ξ , 1 1 w N T H 2 d ξ
    (11)

    위의 식에서 Kf 는 각각 일반유한요소 형상함수를 이용해 얻어진 강성행렬 및 하중벡터이다.

    3. 수치해석예제

    본 장에서는 제안된 일반유한요소법의 유효성을 평가하기 위해 Fig. 2에 제시된 수치해석예제를 표준적인 유한요소법 및 제안된 일반유한요소법을 이용하여 수렴성 해석을 수행하고 그 결과를 비교 및 분석한다. 이 예제는 스팬의 중앙에 소성힌 지를 가지고 있으며 구조물의 기하학적 형상 및 재료물성치는 그림에 제시되어 있다. 구조물에 선형적으로 변화하는 분포하 중이 작용하며 q0의 값은 1이다.

    이 문제의 정해(uexact)는 식 (12)에 나타난 것처럼 5차 다항 식으로 표현되며, 에너지 놈(energy norm)에 대한 수렴성 해 석을 수행하기 위한 변형률 에너지의 정해(Uexact)는 식 (13) 으로 주어진다. 수렴성 해석에서 상대오차는 식 (14)를 이용 해 계산한다.

    u e x a c t = q 0 x 2 120 l E I ( 10 l 3 10 l 2 x + 5 l x 2 x 3 )
    (12)

    U e x a c t = 2 q 0 2 315 l 2 E I ( 35 l 4 105 l 3 + 126 l 2 84 l + 24 )
    (13)

    e r E = U e x a c t U h U e x a c t
    (14)

    3.1 동일 크기 짝수 개수의 요소를 지닌 경우

    본 장에서는 짝수 개수의 요소를 지닌 요소망을 이용하여 수치해석 예제를 표준적인 유한요소법과 제안된 일반유한요소 법을 이용하여 수렴성 해석을 수행한다. Fig. 3은 표준적인 유한 요소법을 이용한 경우 h-확장 과정(h-extension procedure) 에 사용되는 요소망을 보여준다. 스팬의 중앙에 위치한 소성힌 지를 모델링하기 위해 해당 위치의 절점에 두 개의 회전 자유 도를 지니도록 요소 간의 연결성(connectivity)을 수정한다.

    Table 13차의 Hermite 형상함수를 이용하는 표준적인 유한요소법을 적용시켜 얻은 수렴성 결과를 나타낸다. 표에 요 소의 개수, 자유도 개수, 식 (14)로 정의된 에너지 놈에서의 상대오차, 로그-로그 스케일에서의 기울기를 나타내었으며 표의 결과는 Fig. 4에 그래프로 나타내었다. Szabo 등(1991)에 논의된 바와 같이 표준적인 유한요소법을 이용한 경우 수렴성 해 석의 기울기는 (p-1)=2에 수렴한다.

    표준적인 유한요소법을 이용한 수렴성 해석과 유사하게 2차, 3차, 4차의 다항 확장함수를 지닌 일반유한요소법을 이용해 h -확장 과정을 수행하였으며 그 결과를 Table 2부터 Table 4에 나타내었다. 해석에 사용된 요소망을 Fig. 5에 나타내었으며 표준적인 유한요소법이 경우와 달리 소성힌지가 존재하는 절 점에 식 (2)의 두 번째 항(non-smooth interpolation)에 해당 하는 자유도를 추가시킴으로써 소성힌지를 정확하게 묘사한다. 표의 결과는 로그-로그 스케일로 Fig. 6에 그래프로 나타내었다.

    표와 그림의 결과로부터 몇 가지 흥미로운 분석을 수행할 수 있다. 유한요소 이론(Szabo et al., 1991)에 의한 h-확장의 수렴속도(convergence rate)는 (p-1)로 주어진다. 제안된 일반유한요소 다항 확장함수 차수 p=2,3,4에 따른 최종 단계 에서의 수렴속도는 각각 0.992, 2.043, 2.979이다. 이로부터 제안된 일반유한요소법의 수렴속도는 이론치와 아주 잘 일치 하여 그 정확성을 입증함을 알 수 있다. 또한 Fig. 6에 나타난 바와 같이 동일 개수의 자유도를 이용할 경우 4차의 다항 확장 함수를 이용한 경우(p=4) 가장 정확한 해를 구할 수 있다. 표에 나타난 것처럼 흥미롭게도 p=2의 경우 오직 두 개의 요소를 사용한 경우 정해를 구할 수 있으며 p=3, 4의 경우 네 개의 요소를 사용해도 정해를 구할 수 있음을 알 수 있다. 이는 제안된 일반유한요소법의 단위오목분할함수가 3차의 다항식이어서 국부적으로는 다항 확장함수의 차수보다 더 높은 다항식의 해를 구할 수 있어 나타나는 현상으로 보이며 유사한 거동이(Son et al., 2017)에도 논의된 바 있다. 적은 개수의 요소를 사용 해 정확한 해를 구할 수 있으므로 유한요소이론에 의한 예상과 차이가 있으나 제안된 기법에 유리한 현상으로 판단된다.

    Table 5에서 Table 7에 제안된 일반유한요소법으로 각각 4, 16, 64개의 요소를 활용한 p-확장(p-extension) 수렴성 해석 결과를 나타내었다. 동일 결과를 Fig. 7에 로그-로그 스 케일의 그래프로 나타내었다. 다항 확장함수의 차수가 올라감 에 따라 지수함수 수렴속도(exponential convergence rate) 가 나타남을 알 수 있으며, 이는 유한요소이론(Szabo et al., 1991)에 의해 예측되는 바와 정확히 일치하여 제안된 일반유 한요소법의 정확성을 잘 입증한다.

    3.2 동일 크기 홀수 개수의 요소를 지닌 경우

    본 장에서는 홀수 개수의 요소를 지닌 요소망을 이용하여 수치해석 예제를 제안된 일반유한요소법의 수렴성 해석을 수행 한 결과를 분석한다. Fig. 8에 나타난 것처럼 동일 크기 홀수 개수의 요소를 이용할 경우 소성힌지가 요소의 내부에 위치 하게 된다. 표준적인 유한요소법의 경우 소성힌지가 오직 절점 에만 위치할 수 있기 때문에 이 경우는 오직 제안된 일반유한 요소법에 의해서만 다루어질 수 있다.

    앞서 짝수 개수의 요소를 지닌 요소망을 이용해 수행한 경우와 유사하게 2차, 3차, 4차의 다항 확장함수를 지닌 일반유한요 소법을 이용해 h-확장 과정을 수행하였으며 그 결과를 Table 8부터 Table 10에 나타내었다. 이 경우 Fig. 8에 나타난 것 처럼 소성힌지가 존재하는 요수의 두 절점 모두에 식 (2)의 두 번째 항에 해당하는 자유도를 추가시킨다. 표의 결과는 로그- 로그 스케일로 Fig. 9에 그래프로 나타내었다. 3.1장의 결과와 유사하게 p=2, 3, 4의 일반유한요소법을 이용한 경우 이론적 으로 예측되는 선형수렴속도를 얻을 수 있으며, 마지막 수렴단 계에서 각각 1.013, 2.085, 3.104의 값을 보였다. 이로부터 제안된 일반유한요소법은 소성힌지가 요소 내부에 존재하는 경우에도 유한요소이론이 예측하는 수렴속도와 일치하는 결과를 얻을 수 있어 그 효율성과 정확성을 입증함을 알 수 있다. Table 9

    Table 11에서 Table 13에 제안된 일반유한요소법으로 각 각 5, 17, 65개의 요소를 활용한 p-확장 수렴성 해석 결과를 나타내었다. 동일 결과를 Fig. 10에 로그-로그 스케일의 그래 프로 나타내었다. 소성힌지가 요소 내부에 존재하는 경우에도 3.1장의 경우와 마찬가지로 다항 확장함수의 차수가 올라감에 따라 지수함수 수렴속도가 나타나며 유한요소이론의 예측과 정확히 일치한다. 이로부터 제안된 일반유한요소법은 구조물을 묘사하기 위한 요소망의 구성에 관계없이 임의의 위치에 소성 힌지를 삽입할 수 있으며, 이 경우 얻어진 해의 정확성은 적어도 표준적인 유한요소법과 동일한 수준임을 알 수 있다.

    4. 결 론

    본 논문에서 고전적인 오일러-베르누이 보의 집중소성힌지 모델링을 위한 일반유한요소법을 제안하였다. 이 기법은 소성 힌지를 해의 약불연속을 묘사하는 적절한 확장함수를 이용해 모델링하며, 요소간의 연결성을 변화시키지 않으면서 임의의 위치에 소성힌지를 삽입하는 것이 가능하다. 대신 소성힌지는 이미 존재하는 요소에 위계적으로 자유도를 추가함으로써 형성 된다. 제안된 기법의 유효성을 검증하기 위해 수치해석 예제에 대해 h-, p-확장 수렴성 해석을 수행하였다. 본 논문의 결론 은 다음과 같다:

    • (1) 제안된 일반유한요소법을 이용해 집중소성힌지가 절점 및 요소 내부에 발생하는 두 가지 경우 모두에 대하여 h- 및 p-확장의 이론적인 수렴속도를 얻을 수 있었으며 이는 제안된 기법의 정확성을 입증한다.

    • (2) 주어진 자유도 개수에 대해 4차의 다항 확장함수를 이 용한 경우 가장 낮은 상대오차가 발생하여 집중소성힌지 모델링에 있어 가장 효과적이 방법임을 알 수 있다.

    • (3) 고차의 다항 확장함수를 이용할 경우 한 개 혹은 두 개의 적은 수의 요소를 사용하더라도 거의 정확한 해를 구할 수 있다. 이는 제안된 일반유한요소법이 변위와 연관된 3차 Hermite 형상함수를 단위오목분할함수로 이용하여 고차의 다항 확장함수를 이용할 경우 국부적으로 확장 함수보다 더 높은 차수의 해를 모사할 수 있기 때문인 것으로 판단된다.

    현재 제안된 일반유한요소법을 확장하여 프레임 구조물의 붕괴를 묘사하는 1차 소성힌지해석에 적용시키는 연구를 수행 하고 있으며, 제안된 기법이 요소를 교체하거나 혹은 요소간의 연결성의 변화시키지 않고 자유도를 추가함으로써 소성힌지를 모델링 할 수 있기 때문에 대규모 구조물의 붕괴해석에 효율적 으로 적용될 수 있을 것으로 예상된다.

    감사의 글

    본 연구는 국토교통부 국토교통기술지역특성화사업의 연구 비지원(18RDRP-B076268-05)에 의해 수행되었습니다.

    Figure

    COSEIK-31-381_F1.gif

    GFEM shape functions for plastic hinge modeling

    COSEIK-31-381_F2.gif

    Model problem with an internal hinge at span center

    COSEIK-31-381_F3.gif

    Uniform mesh refinement procedure for the standard FEM analysis with an even number of elements

    COSEIK-31-381_F4.gif

    Convergence results of h-extension obtained using the standard FEM with an even number of elements

    COSEIK-31-381_F5.gif

    Uniform mesh refinement procedure for the GFEM analysis with an even number of elements

    COSEIK-31-381_F6.gif

    Convergence results of h-extension obtained using the GFEM with an even number of elements

    COSEIK-31-381_F7.gif

    Convergence results of p-extension obtained using the GFEM with an even number of elements

    COSEIK-31-381_F8.gif

    Uniform mesh refinement procedure for the GFEM analysis with an odd number of elements

    COSEIK-31-381_F9.gif

    Convergence results of h-extension obtained using the GFEM with an odd number of elements

    COSEIK-31-381_F10.gif

    Convergence results of p-extension obtained using the GFEM with an odd number of elements

    Table

    H -extension results obtained using the standard FEM with an even number of elements

    H -extension results obtained using the GFEM with an even number of elements and p=2

    H -extension results obtained using the GFEM with an even number of elements and p=3

    H -extension results obtained using the GFEM with an even number of elements and p=4

    P -extension results obtained using the GFEM with 4 elements

    P -extension results obtained using the GFEM with 16 elements

    P -extension results obtained using the GFEM with 64 elements

    H -extension results obtained using the GFEM with an odd number of elements and p=2

    H-extension results obtained using the GFEM with an odd number of elements and p=3

    H -extension results obtained using the GFEM with an odd number of elements and p=4

    P -extension results obtained using the GFEM with 5 elements

    P -extension results obtained using the GFEM with 17 elements

    P -extension results obtained using the GFEM with 65 elements

    Reference

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