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ISSN : 1229-3059(Print)
ISSN : 2287-2302(Online)
Journal of the Computational Structural Engineering Institute of Korea
Vol.27 No.2 pp.95-102

DOI : https://doi.org/10.7734/COSEIK.2014.27.2.95

Verification of Linear FE Model for Nonlinear SSI Analysis by Boundary Reaction Method

Lee Gye Hee, Hong Kwan Young, Lee Eun Haeng, Kim Jae Min †
February 11, 2014 March 18, 2014 March 19, 2014

Abstract

In this paper, a coupling scheme for applying finite element analysis(FEA) programs, such as, LS-DYNA and MIDAS/Civil, to a nonlinear soil structure interaction analysis by the boundary reaction method(BRM) is presented. With the FEA programs, the structure and soil media are discretized by linear or nonlinear finite elements. To absorb the outgoing elastic waves to unbounded soil region as much as possible, the PML elements and viscous-spring elements are used at the outer FE boundary, in the LS-DYNA model and in MIDAS/Civil model, respectively. It is also assumed that all the nonlinear elements in the problem are limited to structural region. In this study, the boundary reaction forces for the use in the BRM are calculated using the KIESSI-3D program by solving soil-foundation interaction problem subjected to incident seismic waves. The effectiveness of the proposed approach is demonstrated with a linear SSI seismic analysis problem by comparing the BRM solution with the conventional SSI solution. Numerical comparison indicates that the BRM can effectively be applied to a nonlinear soil-structure analysis if motions at the foundation obtained by the BRM for a linear SSI problem excluding the nonlinear structure is conservative.


초록

이 논문에서는 경계반력법을 이용한 비선형 지반-구조물 상호작용 해석을 위해 LS-DYNA나 MIDAS/Civil 등의 유한요소해석 프로그램과 연계하는 방법을 제시하였다. 경계반력법 적용시 유한요소프로그램에서 구조물과 지반은 선형 또는 비선형 유한요소를 이용하여 모델링하였다. 유한요소의 해석모델 외부의 무한영역으로 전달되는 탄성파를 최대한 흡수하기위해유한요소 모델의 외측에 LS-DYNA의 경우에는 PML(Perfectly Matched Layer) 요소를, MIDAS/Civil의 경우에는 점성감쇠-스프링 요소를 적용하였다. 비선형 유한요소는 구조물영역에만 적용되는 것으로 가정하였다. 이 연구에서는 입사지진파에 의한 경계반력은 KIESSI-3D 프로그램을 이용하여 계산하였다. 선형 지반-구조물 상호작용 문제에 대해 일반적인 KIESSI-3D의 해석결과와 BRM해석결과를 비교하여 제시된 방법의 효율성을 제시하였다. 또한 수치적 비교를 통해 비선형 구조에 대해 보수적인 응답을 보이는 선형 SSI문제에 대하여 얻은 경계반력이 비선형 지반-구조물 상호작용해석에 효과적으로 적용 가능함을 알 수 있었다.


    1. 서 론

    지진발생시 구조물과 지반의 상호작용에 의한 지진거동의 해석은 지진공학의 기본적인 접근법이다. 이러한 지반-구조물 상호작용(Soil-Structure Interaction, SSI) 해석은 무한영역으로 전달되는 탄성파에 의한 방사감쇠(radiation damping)를 고려하기 위하여 진동수 영역에서 해를 구하는 것이 일반적이다. 진동수 영역해석은 일반적으로 중첩의 원리를 이용하므로 구조물과 지반이 선형탄성거동을 하는 것을 기본 가정으로 한다. 실용적인 방법으로 반복해석을 통한 지반과 구조물의 비선형성을 고려하는 방법 등이 제안되었지만 해석의 기본은 선형탄성해석에 기반을 두고 있다.

    한편 큰 지진의 발생가능성이 높은 곳에 건설되는 구조물의 설계 시 지진하중을 감소시키기 위해서 사용되는 지진격리장치는 지진격리장치에 집중되는 변형을 통해 구조물 전체의 강성을 낮추어 상부구조물의 고유진동수 영역의 지진하중을 지진격리장치가 목적하는 저 진동수 영역으로 집중시키는 역할을 한다. 하지만 지진격리장치에 집중되는 변형은 비선형거동이므로 선형탄성거동에 기반을 둔 일반적인 SSI 프로그램의 적용에는 어려움이 있다.

    구조물의 비선형해석은 다양한 구조해석 프로그램을 이용하여 원활히 수행할 수 있다. 하지만 SSI 시스템에 적용하기 위해서는 지진파의 방사감쇠를 모사할 수 있는 특수한 경계처리방법과 광대한 근역의 지반에 대한 모델링이 필요하다. 이러한 모델링은 전반적인 해석의 효율성이 떨어지고 해의 정확성이 담보되지 않는 단점이 있다.

    이 연구에서는 진동수 영역에 기반을 둔 선형 SSI 해석과 비선형해석을 수행할 수 있는 유한요소해석 프로그램을 결합하여 비선형 SSI을 수행할 수 있도록 제안된 경계반력법(Boundary Reaction Method; BRM)을 유한요소해석 프로그램인 LS-DYNA(LSTC, 2010)와 MIDAS/Civil(마이다스아이티, 2013)에 적용하여 BRM의 효용성을 검증하였다. 제안된 BRM 기법은 비선형구조해석을 위하여 개발되었지만 이 논문에서는 구조해석 프로그램과의 조합에 의한 적용성을 검증하는데 주목적을 두고 있으므로 참조해를 적용할 수 있는 선형탄성 예제를 사용하여 검증하였다.

    2. 본 론

    2.1 경계반력법

    비선형 SSI 해석을 위한 새로운 부구조 해법인 경계반력법(Boundary Reaction Method, BRM)의 개념을 Fig. 1(a)와 같은 지진격리 원전구조물의 SSI 해석문제에 대해 설명하면 다음과 같다(Kim and Lee, 2013).

    이 지진격리구조 SSI 시스템은 지반의 외부에서 지진파가 입사되고, 선형으로 가정된 지반과 구조물 및 비선형 지진격리받침으로 이루어진 문제로 나타낼 수 있다. 이 비선형 SSI 해석 문제는 Fig. 1(b)와 같이 지진격리받침 하단을 고정시킨 부구조 (I)과 Fig. 1(c)와 같은 부구조 (II)로 분리할 수 있다. 이 때 부구조 (I)은 선형 SSI 문제인 반면 부구조 (II)는 비선형 문제임을 알 수 있다.

    제안된 BRM은 부구조 (I)에서 경계면 반력을 SSI 프로그램을 이용하여 구하고, 부구조 (II)의 비선형 시간이력해석을 범용 유한요소해석 프로그램을 이용하는 방법이다.

    2.2 지반-구조물 상호작용 해석프로그램

    경계반력법에서는 인위적으로 설정된 지반과 구조물간의 경계면에서 자유도를 구속한 상태에서 SSI 해석을 수행할 수 있는 프로그램이 필요하다. 이 연구에서는 SSI 해석을 위해 KIESSI-3D을 사용하였다(Seo and Kim, 2012; Lee et al., 2012). 이 프로그램의 주 특징은 근역의 구조물 및 근역지반을 유한요소로 이산화하며, 원역의 수평층상 지반은 파동전달 특성을 잘 묘사하는 무한요소로 모형화한다는 점이다. 또한 진동수 영역에서 운동방정식을 정식화하여 SSI 문제를 해석한다.

    2.3 비선형해석 프로그램

    이 절에서는 경계반력법에서 비선형해석 부분에 사용되는 구조해석 프로그램에 대하여 서술하였다. 경계반력법에서 사용되는 구조해석 프로그램은 지진격리장치에서 발생하는 비선형 거동을 산정해야 하기 때문에 기본적으로 비선형해석 기능을 포함하여야 한다. 추가적으로 지반구조물 상호작용에서 발생하는 방사감쇠의 효율적인 처리를 위하여 해석영역의 경계에서 일종의 전달경계인 Perfectly Matched Layer(이하 PML)요소를 적용할 수 있는 유한요소해석 프로그램인 LS- DYNA와 일반적인 감쇠기-스프링으로 경계를 처리할 수 있는 MIDAS/Civil를 사용하여 제안된 경계반력법의 적용성을 선형 SSI 해석문제에 대해 검증하였다.

    2.3.1 LS-DYNA와 PML

    PML의 기본개념은 진동수 영역에서 좌표의 변환을 통해 무한영역을 근사하고 반사파를 제거하는 것이다. 이 과정에서 외부로 파동과 진동수에 대한 연속조건을 도입한다.

    PML의 적용을 위하여 다음과 같이 공간좌표계 10.7734.27.2.95.F104.png를 다음과 같이 변환된 좌표계 10.7734.27.2.95.F105.png로 치환한다.

    10.7734.27.2.95.F106.png      (1)

    여기서, 10.7734.27.2.95.F107.png은 연장함수(stretching function)로서 0이 아닌 복소수 값을 가진다. 이 함수는 다양하게 가정될 수 있으며 일반적으로 다음과 같이 가정한다(Basu and Chopra, 2003).

    10.7734.27.2.95.F108.png      (2)

    여기서, 10.7734.27.2.95.F109.png이고, 10.7734.27.2.95.F110.png10.7734.27.2.95.F111.png는 진동수와 전단파속도이다. 10.7734.27.2.95.F112.png1인 경우는 일반적인 탄성체와 동일한 거동을 하게 된다. 10.7734.27.2.95.F113.png10.7734.27.2.95.F114.png은 각각 소멸과 전파에 의한 파의 약화를 나타낸다. 연속인 10.7734.27.2.95.F107.png에 대하여 다음과 같은 좌표변환을 산정할 수 있다.

    10.7734.27.2.95.F116.png      (3)

    식 (3)의 관계를 이용하면 다음과 같이 변환된 좌표계에 대한 운동방정식이 얻어진다.

    10.7734.27.2.95.F117.png      (4a)

    10.7734.27.2.95.F118.png      (4b)

    10.7734.27.2.95.F119.png      (4c)

    여기서, 10.7734.27.2.95.F120.png은 재료의 밀도, 10.7734.27.2.95.F121.png는 변위벡터, 10.7734.27.2.95.F122.png는 응력텐서, 10.7734.27.2.95.F123.png는 변형률텐서이다. 또한 Hooke텐서 10.7734.27.2.95.F124.png이고, 식 (4b)에서 괄호안의 값 (1+210.7734.27.2.95.F125.png)는 강성계수에 비례하는 감쇠를 나타내며 10.7734.27.2.95.F126.png10.7734.27.2.95.F127.png는 참조진동수와 감쇠비를 나타낸다.

    식 (4a)의 양변에 10.7734.27.2.95.F128.png를 곱하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

    10.7734.27.2.95.F129.png

    10.7734.27.2.95.F130.png      (5)

    이후의 정식화과정은 일반적인 유한요소법과 유사하다.

    처음 PML방법이 사용된 것은 전자기파의 분야이다. 따라서 기본적인 해석기법이나 이론의 개발은 이 분야에서 이루어 졌다. 그리고 Basu와 Chopra가 PML을 탄성파 전파문제를 위해 유한요소로 정식화하고 탄성전이해석을 수행하였다(Basu and Chopra, 2003; 2004). Lee(2006)는 이 기법을 교량기초에 적용하여 교량의 SSI 응답을 산정하였다. Uno 등(2010)은 PML기법을 결합하여 비선형 지반구조물 상호작용해석을 수행하였다.

    Basu(2009)는 기존의 연구를 확장하여 PML요소를 양해법(explicit method)을 사용하는 구조해석 프로그램에 적용하는 기법을 개발하였다. 이를 바탕으로 대표적인 양해법 해석 프로그램인 LS-DYNA에서 PML 요소를 재료물성치로 고려하여 전달경계로 사용할 수 있도록 하였다.

    PML 해석기법을 이용한 SSI 해석은 아직도 개선중인 것으로 판단된다. 하지만 이 방법의 특성상 방사감쇠의 모사에 탁월하고 근역지반의 모델링 범위를 최소화할 수 있는 장점이 있어 이 연구에서 수행하고자 하는 경계반력법의 적용성을 평가하는데 사용하였다.

    2.3.2 MIDAS/Civil의 원역 경계조건

    근역의 지반모델경계면에 방사감쇠와 원역지반의 정적 강성을 모사하기 위해 유한요소모델 외측 경계면에 점성감쇠기와 스프링요소를 설치하였다. 이때 사용한 단위면적당 스프링계수 10.7734.27.2.95.F131.png 및 감쇠계수 10.7734.27.2.95.F132.png는 다음과 같이 정할 수 있다(Liu et al., 2006).

    10.7734.27.2.95.F133.png, 10.7734.27.2.95.F134.png      (6a)

    10.7734.27.2.95.F135.png, 10.7734.27.2.95.F136.png      (6b)

    여기서, G는 전단탄성계수, 10.7734.27.2.95.F138.png는 하중 작용점(또는 원점)에서 유한요소 외측 경계면까지의 거리, 10.7734.27.2.95.F120.png는 지반의 질량밀도, 10.7734.27.2.95.F140.png는 압축파속도, 10.7734.27.2.95.F111.png는 전단파속도이다. 식 (6)에서 하첨자 NT는 각각 경계면 법선방향과 경계면 접선방향을 나타낸다. 그리고 위의 식에서 10.7734.27.2.95.F144.png10.7734.27.2.95.F145.png는 무차원계수로서 각각 Liu 등(2006)의 추천값인 1.33과 0.67을 사용하였다.

    3. 수치예제

    3.1 KIESSI-3D 참조해

    개발된 경계반력법의 적용성을 평가하기 위하여 검증된 SSI 해석프로그램인 KIESSI-3D를 이용하여 참조해를 구성하고 이 참조해와 경계반력법을 이용한 2단계의 부분구조법에서 얻어진 해와 비교하였다. 또한 이 해석에서 경계반력법에서 사용되는 경계에서의 반력을 산정하였다.

    검증예제는 Fig. 2(a) 와 같이 균일 반무한지반에 놓인 원형기초 구조물이고 통제점(control point)은 자유장지반 지표면이며 지진입력은 Fig. 2(c)와 같이 USNRC RG 1.60 설계가속도 응답스펙트럼을 만족하는 PGA=1.0g인 인공지진파에 대응하는 변위시간이력이다. 그리고 지반의 물성치는 Table 1과 같다.

    경계반력법에 사용하는 가상의 반력은 강체기초상의 3개의 지점(Fig. 2(a)에서 A, B, C)에서 Fig. 3과 같이 산정되었다. 그림에서 확인할 수 있듯이 반력값은 기초의 중심에서는 수평방향으로, 다른 두 점에서는 수평과 수직방향으로 얻어진다. 이 때 얻어진 기초의 수직방향의 힘은 기초의 모멘트 성분을 나타낸다.

    3.2 LS-DYNA

    경계반력법의 범용프로그램 LS-DYNA에 대한 적용성을 검토하기 위해 KIESSI-3D를 이용하여 Fig. 3과 같은 경계면 반력을 계산하고, 계산된 반력을 LS-DYNA에 입력하중으로 적용하여 시간이력해석을 수행하였다. 그리고 해석결과를 KIESSI-3D를 이용하여 부구조 (I)과 (II)를 해석한 경계반력법 해석결과와 비교하였다. 이 때 LS-DYNA에서 방사감쇠 문제를 모델링하기 위해 PML을 이용하여 모델링하였다. 이 때 근역지반의 모델링 범위를 달리하여 근역의 모델링범위와 요소망의 특성이 해석결과에 미치는 영향을 검토하였다.

    해석에 고려된 LS-DYNA의 해석모델은 3개로 근역지반을 구성하는 요소의 크기가 6m, 3m, 2m인 3가지 경우에 대한 해석모델을 작성하였다. 첫번째 모델은 근역지반을 기초 반지름의 30배인 가로세로 594m, 깊이는 21.5m로 모델링하였다. 구조물과 인접한 근역의 요소망은 6m로 설정하였으며, PML 요소층은 30m로 모델링하였다(CASE-1). 두번째 모델은 근역 지반을 기초 반지름의 약 5배인 가로세로 100m, 깊이는 21.5m로 모델링하였다. 구조물과 인접한 근역의 요소망은 3m로 설정하였으며, PML 요소층은 25m로 모델링 하였다(CASE-2). 세번째 해석모델은 근역 지반을 기초 반지름의 약 5배인 가로세로 100m, 깊이는 21.5m로 모델링하였다. 구조물과 인접한 근역의 요소망은 2m로 설정하였으며, PML 요소층은 15m로 Fig. 4(c)와 같이 모델링하였다(CASE-3). 지반의 물성치는 참조해 모델과 동일하게 고려하였고, PML 요소 외측면의 변위는 고정시켰다.

    작성된 3가지 해석모델에 제안된 경계반력법을 적용한 해석결과와 참조해의 결과를 기초에서의 수평응답에 대하여 비교한 시간이력곡선과 응답스펙트럼을 Fig. 5~Fig. 8에 나타내었다.

    세 가지 해석모델에 대한 해석결과에서 근역의 유한요소 크기를 6m로 설정한 CASE-1의 경우 참조해나 다른 해석모델에 비하여 약 30%정도 작은 응답을 보였다(Fig. 6). 이 해석모델이 다른 모델에 비하여 매우 큰 근역의 해석영역을 가진 것을 고려해 볼 때 근역 유한요소의 크기가 지나치게 큰 경우에는 부정확한 해를 도출하는 것을 알 수 있었다. 근역의 유한요소 크기를 각각 3m와 2m로 설정한 CASE-2 및 CASE-3의 경우, Fig. 6과 같이 고주파수영역에서 응답스펙트럼이 5%∼10% 차이를 보였으나, CASE-1과 비교하여 볼 때 모델링영역의 크기가 작음에도 참조해와 매우 근접한 응답을 보여주고 있다. 위와 같은 해석에서 발생한 오차는 원역의 근사방법의 차이, 재료감쇠 모델링방법 차이, 시간이력해석법(Explicit, Implicit)에 따른 편차 등에 의한 것으로 추정된다.

    정확한 비선형 SSI 해석을 위해서는 선형해석모델에 대한 신뢰성이 우선적으로 확보되어야 한다. 이를 위하여 실무적인 접근으로 참조해와 경계반력법을 이용한 해석결과와의 차이를 평가하고 필요한 경우 보정작법이 필요하다. 이 연구에서는 Fig. 7과 같이 선형시스템의 해석시 유효지진하중의 크기를 참조해와 비교하여 보정하는 방법과 Fig. 8과 같이 근역에서의 감쇠비를 조정하여 참조해와 일치시키는 방법을 적용하여 보았다. 선형 SSI 문제에서 참조해 보다 보수적인 응답을 얻기 위해 유효지진하중 보정시 유효지진하중의 크기를 1.1배 증가시켰으며, 근역에서의 감쇠비 보정시 근역지반의 감쇠비를 0.0%로 적용하였다. 두 방법 모두 참조해와 충분히 근접한 안전측인 응답을 얻을 수 있었다. 이렇게 보정된 해석모델과 구조해석 프로그램이 가지고 있는 비선형해석 기능을 이용하여 비선형지반구조물 상호작용 해석에 적용할 수 있을 것으로 판단된다.

    3.3 MIDAS/Civil

    제안된 경계반력법의 범용프로그램 MIDAS/Civil에 대한 적용성을 검토하기 위해 KIESSI-3D를 이용하여 경계면 반력을 계산하고, 계산된 반력을 MIDAS/Civil 유효하중으로 하여 시간이력해석을 수행하였다.

    이 시간이력해석에 사용된 모델은 Fig. 9에서 보이는 바와 같다. 해석모델은 가로세로 방향으로 기초반지름의 10배 정도를 모델링하였고 수직방향으로는 24m를 근역지반으로 모델링하였다. 이 때 사용된 유한요소의 크기는 3m이내이다. 근역지반의 경계면은 식 (6)을 따라 계산된 점성계수 및 분포스프링상수를 경계면에 따라 적분한 점성감쇠 및 스프링 요소를 부착하였다.

    MIDAS/Civil을 이용하여 제안된 경계반력법에 의해 해석결과를 KIESSI-3D의 참조해 및 LS-DYNA를 이용한 경계반력법 해석결과와 비교하였다. 각각의 기초에서 수평응답의 시간이력곡선과 응답스펙트럼은 Fig.10∼Fig.12에 나타내었다.

    MIDAS/Civil을 사용하여 얻어진 응답은 Fig. 10 및 Fig. 11과 같이 참고해와 매우 유사한 결과를 보인다. 그리고 MIDAS/Civil에 의한 응답은 참고해에 비해 전체적으로 큰 응답값을 보여, 이 프로그램을 이용한 비선형 SSI해석에는 앞의 LS-DYNA와는 달리 응답지진의 크기나 근역의 감쇠비를 조정해야 할 필요가 없는 것으로 판단되었다.

    또한 LS-DYNA와 MIDAS/Civil 해석모델 차이가 매우 큼에도 불구하고, Fig. 12에 보인 바와 같이 두 유한요소해석 프로그램을 사용한 경계반력법에 의한 응답이 매우 유사하여, 경계반력법이 유한요소해석 프로그램에 따라 그 적용성이 크게 달라지지 않음을 알 수 있었다.

    4. 결 론

    이 연구에서는 비선형 지반-구조물 상호작용에 적용할 수 있도록 제안된 경계반력법을 선형 지반-구조물 상호작용 문제에 적용하여 경계반력법의 실용성을 검증하였다. PML을 이용한 LS-DYNA와 경계에서의 점성감쇠기 및 스프링요소를 이용한 MIDAS/Civil을 이용하여 경계반력법을 구현하였다. 그리고 이 해들의 정확성을 평가하기 위한 참조해를 선형 SSI 문제에 대해 검증된 KIESSI-3D 프로그램을 이용하여 작성하였다. 이들 해석결과를 비교 검토하여 다음과 같은 결론을 얻었다.

    1)PML과 점탄성감쇠기를 이용한 모델 모두 참조해와 유사한 응답거동을 보였다.

    2)PML을 이용한 LS-DYNA의 경우 일반적인 점탄성경계를 구현한 MIDAS/Civil에 비해 근역지반의 모델을 매우 효율적으로 구성할 수 있다.

    3)비선형 지반-구조물 상호작용해석을 위한 기본모델의 보정을 유효반력하중과 근역의 감쇠비를 이용하여 수행할 수 있었다. 또한 이 같은 보정후 경계반력법에 의한 해는 참조해와 매우 근접하게 됨을 알 수 있었다.

    4)LS-DYNA와 MIDAS/Civil 유한요소해석 프로그램을 사용한 경계반력법에 의한 응답이 매우 유사하여, 경계반력법이 유한요소해석 프로그램에 따라 그 적용성이 크게 달라지지 않음을 알 수 있었다.

    이 연구는 지식경제부 기술혁신사업 중 원자력융합원천기술과제(2011151010010A)의 연구비 지원으로 수행하였습니다.

    Figure

    10.7734.27.2.95.F103.png
    Concept of Boundary Reaction Method for Nonlinear Soil-Structure Interaction Analysis
    10.7734.27.2.95.F148.png
    KIESSI-3D analysis model for verification example
    10.7734.27.2.95.F150.png
    Reaction Forces Calculated by the KIESSI-3D
    10.7734.27.2.95.F153.png
    Fig. 4 LS-DYNA models for verification example
    10.7734.27.2.95.F156.png
    Time history of horizontal responses at mat foundation(LS-DYNA)
    10.7734.27.2.95.F157.png
    Response spectra of horizontal motions at mat foundation(LS-DYNA, 5% damping ratio)
    10.7734.27.2.95.F158.png
    Response spectra of horizontal motions at mat foundation due to to scaled effective boundary reaction forces(LS-DYNA, 5% damping ratio)
    10.7734.27.2.95.F159.png
    Response spectra of horizontal motions at mat foundation by neglecting material damping in near-field soil region(LS-DYNA, 5% damping ratio)
    10.7734.27.2.95.F160.png
    MIDAS/Civil model for verification example
    10.7734.27.2.95.F161.png
    Time history of horizontal responses at mat foundation(MIDAS/Civil)
    10.7734.27.2.95.F162.png
    Response spectra of horizontal motions at mat foundation(5% damping ratio)
    10.7734.27.2.95.F163.png
    Time history of horizontal responses at mat foundation by boundary reaction method(LS-DYNA vs. MIDAS/Civil)

    Table

    Properties of soil layers of verification example

    Reference

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